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Mathmetics14

확률 변수의 선형 변환 함수 이전 포스팅 참조 : 확률 변수와 확률 분포, 오늘은 확률 변수의 선형 변환 함수에 대해서 이야기해보겠습니다. 확률 밀도 함수 $f_X(x)$를 따르는 확률 변수 $X$가 있을 때, $X$와 상관성이 보이는 $Y$가 있다고 합시다. 주어진 $X$의 값들을 적절하게 변환하여 $Y$로 표현할 수 있는 선형 함수 $g(X)$가 있을 때, $Y$가 가지는 확률 밀도 함수 $f_Y(y)$는 어떤 모습일지를 구하는 것이 오늘 포스팅의 목적입니다. 이산형 확률 변수의 선형 변환 이산형 확률 변수의 선형 변환은 아주 간단합니다. 예를 들면서 설명해보겠습니다. 값이 -1, 0, 1인 어떤 확률 변수 $X$에 대한 선형 변환 함수 $g(X) = Y = 2X + 1$가 있다고 합시다. 각 값들에 대한 확률 값이 아래와 같을.. 2022. 6. 27.
확률 분포 함수 : 정규 분포(Normal Distribution) 정규 분포 소개 확률 변수 $X$가 평균이 $\mu$, 분산이 $\sigma^2$이고 다음과 같은 정규 분포 확률 밀도 함수 $f(x)$를 가질 때, $$ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty < x < \infty \tag{1} $$ $X$를 정규 분포 확률 변수라고 부르고 다음과 같이 표기합니다. $$ X \sim N[\mu, \sigma^2] \tag{2} $$ 정규 분포 확률 밀도 함수 유도 과정 위의 정규 분포 확률 밀도 함수 $f(x)$를 유도해봅시다. 원점이 (0,0)인 2차원 평면상에서 원점을 향해 다트 던지기를 하는 상황을 생각해봅시다. 이 때, 3가지 가정이 필요합니다. 1.. 2022. 6. 18.
확률 분포 함수 : 지수 분포(Exponential Distribution) 이전 포스팅 참조 : 확률 분포 함수 : 포아송 분포(Poisson Distribution) 이전 포스팅에서 포아송 분포를 유도해보았습니다. 특정 기간 안에서 발생한 사건의 횟수를 기록하기 위해, 이항 분포에서 시간 간격을 촘촘히 잘라 ($n \rightarrow \infty$) 하나의 베르누이 시행을 만들었고, 발생률 $\frac{\lambda}{n}$을 통해 기간 내에 발생한 사건의 횟수를 나타내는 분포를 구할 수 있었습니다. 하지만 때때로 우리는 사건 발생의 횟수가 아닌 얼마나 자주 발생하느냐에 관심이 있습니다. 오늘은 이를 나타내는 '지수 분포(Exponential Distribution)'에 대해서 알아봅시다. 포아송 분포와의 연관성 오늘 우리는 두 사건 사이의 시간 간격에 관심이 있습니다. 이.. 2022. 4. 13.
확률 분포 함수 : 연속 균등 분포(Continuous Uniform Distribution) 이전 포스팅 참조 : 확률 변수와 확률 분포 / 기댓값, 분산, 표준편차, 분위수 연속 균등 분포(Continuous Uniform Distribution) 연속형 확률 분포에서 비교적 간단한 형태를 가진 분포입니다. [a, b] 사이의 값을 가지는 연속형 확률 변수 $X$가 연속 균등 분포를 따른다면, 아래와 같이 표기하고 $$ X \sim U(a, b) $$연속 균등 분포의 확률 밀도 함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{cc} \frac{1}{b-a} & \text{for }a \leq x \leq b, \\ 0 & \text{for }x b. \end{array} \right.$$면적의 넓이가 1이 되도록(.. 2022. 4. 12.
확률 분포 함수 : 포아송 분포(Poisson Distribution) 이전 포스팅 참조 : 확률 분포 함수 : 베르누이 분포, 이항 분포 베르누이 실험에서 각 베르누이 시행은 성공(1) 혹은 실패(0)로 나뉩니다. 여기서 문제가 발생하는데, 만약 우리가 성공과 실패를 1시간 간격으로 기록한다면, 1시간 내에서 발생한 성공의 횟수를 표현할 수가 없다는 겁니다. 예를 들어 손뼉을 치면 1, 안치면 0을 1시간 간격으로 기록하는 실험이 있다고 합시다. 1시간 안에 손뼉을 한 번 친다면 1을 기록하면 그만이지만, 두 번 이상 치면 1을 기록하기 찜찜해진다는 것이죠. 이를 해결하기 위해선 각 베르누이 시행을 기록하는 시간 간격을 더 잘게 쪼개야 합니다. 1분 간격, 1초 간격,... 가능한 잘게 쪼갤수록 더 좋겠죠. 결국 베르누이 시행의 간격은 무한히 작아지고 총 시행 횟수는 무한.. 2022. 4. 11.
확률 분포 함수 : 베르누이 분포, 이항 분포 이전 포스팅 참조 : 결합 분포 / 기댓값, 분산, 표준편차, 분위수 베르누이 시행(Bernoulli Trial) 나올 수 있는 결과가 오직 2가지 경우만 존재하는 실험을 의미합니다. 예를 들면, 동전을 던져 앞면 혹은 뒷면을 확인하는 실험은 결과가 '앞' 혹은 '뒤'만 있으므로 베르누이 시행입니다. 편의를 위해 결과를 성공(1)과 실패(0)만 존재한다고 가정하겠습니다. 베르누이 분포(Bernoulli Distribution) 베르누이 시행이 따르는 분포를 베르누이 분포라고 말합니다. 성공할 확률을 $p$($0 \leq p \leq 1$) 라고 했을 때, 아래와 같이 쓸 수 있습니다. $$ X = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{성공} \\ 0 & \text{실패} \en.. 2022. 4. 10.
공분산과 상관계수 이전 포스팅 참조 : 확률 변수와 확률 분포 오늘은 두 확률 변수 사이의 연관성에 대해서 다뤄보도록 하겠습니다. 우리는 실생활에서 두 확률 변수가 서로 영향을 미치는 경우를 자주 마주칠 수 있습니다. 예를 들면 한낮의 온도(X)와 아이스크림의 판매량(Y) 같은 경우가 있습니다. 한낮의 온도가 높을수록 아이스크림은 잘 팔릴 것이고, 온도가 낮을수록 아이스크림은 안 팔릴 겁니다. 이처럼 두 확률 변수의 값이 동시에 크거나 작을 때, 혹은 하나의 확률 변수가 커질 때 나머지 확률 변수가 작아질 때나 그 반대의 경우들을 가리켜 두 확률 변수가 선형적인 연관성을 가진다고 말합니다. 선형적 연관성(Correlation) 아래 그림에서 r=0인 경우들을 제외하면, x축 값(확률 변수 X의 값)이 커질수록 y축 값(확.. 2022. 3. 31.
-1 곱하기 -1은 왜 1일까? 이전 포스팅 참고 : 함수란 무엇인가? 왜 $(-1)^2 = 1$일까요? 이를 이해하기 위해서는 수의 체계에 대해서 이해할 필요가 있습니다. 수학에는 '공리(axiom)'라는 개념이 존재합니다. 어떤 정의나 정리들은 모두 이 공리로부터 시작되며, 수학의 한 분야의 개념을 쌓아가는 기본적이고 증명이 필요 없이 아주 명백한 것을 말합니다. 이번 포스팅에서는 실수(Real number)가 만족하는 공리 중 하나인 '체 공리(Field Axoims)'에 대해서 알아보겠습니다. 체 공리(Field Axioms) 일단 두 종류의 함수가 필요합니다. 바로 덧셈($+$)과 곱셈($\cdot$ 혹은 $\times$)입니다. 두 연산자가 함수라고 생각이 안드실 수 있지만 사실 $\mathbf{R}^2 := \mathbf{.. 2022. 3. 30.
함수란 무엇인가? 오늘은 우리와 아주 익숙한 '함수(Function)'에 대해서 얘기해 보도록 하겠습니다. 아마 대부분의 사람들은 함수가 무엇이냐 말하면 $f(x)$이고 $x$에 따라서 그 값이 변한다.. 정도로만 답할 겁니다. 아주 틀린 말은 아니지만 이번엔 좀 더 세세하게 뜯어보도록 하죠. 카테시안 곱(Cartesian Product) 함수를 이해하기 전에 '카테시안 곱'의 개념을 먼저 소개하겠습니다. 우리말로는 '카테시안 곱'(카r테시안 곱...), '데카르트 곱', '곱집합' 등으로 불립니다. 어떤 두 집합 $X$, $Y$에 대해서 $X$와 $Y$의 카테시안 곱은 아래와 같이 정의된 순서쌍의 집합을 의미하며, $\times$로 표기합니다. $$X \times Y := \{ (x, y) : x \in X, y \in.. 2022. 3. 25.
결합 분포 이전 포스팅 참조 : 확률 변수와 확률 분포 / 조건부 확률, 독립 모든 실험을 하나의 확률 변수로만 설명할 수 있다면 좋겠지만, 대부분의 현실 상황에서는 둘 이상의 확률 변수를 이용하여야만 설명할 수 있습니다. 오늘은 둘 이상의 확률 변수가 어떤 조합의 값들을 가질 가능성이 얼마인가를 다루는 결합 확률과 주변 확률의 개념에 대해서 알아보겠습니다. 결합 확률 분포 함수(Joint Probability Distribution Function) 결합 확률 분포 함수는 두 개 이상의 확률 변수에 대한 확률을 정의하기 위한 함수입니다. 확률 변수가 2개인 경우의 예를 들어보겠습니다. 어떤 집단에서 사람이 자동차를 가지고 있는 경우를 확률 변수 $X$로 나타내, 가지고 있는 경우는 1, 가지고 있지 않은 경우는 .. 2022. 3. 22.
기댓값, 분산, 표준편차, 분위수 이전 포스팅 참조 : 확률 변수와 확률 분포 어떤 확률 변수와 확률 분포 함수가 주어졌다면, 그 분포가 어디쯤 위치하는지, 어떤 모양을 가지고 있는지 등이 궁금할 겁니다. 오늘은 이를 파악하기 위한 여러 가지 통계적 지표들에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 기댓값(Expectation Value) 기댓값이란, 분포의 무게중심, 중심 위치를 나타내는 값을 의미합니다. 무수히 많은 실험을 통해 해당 분포에서 나온 값들을 무수히 많이 관찰한다면, 기댓값은 그 값들의 평균에 대응됩니다. 확률 분포 함수 $f(x)$를 가지는 확률 변수 $X$의 기댓값은 다음과 같이 정의됩니다. $$\begin{align} E(X) = \mu = \left\{ \begin{array}{l} \sum_{all\,x} xf(x), \,.. 2022. 3. 21.
확률 변수와 확률 분포 이전 포스팅 참조 : 확률의 공리, 조건부 확률, 독립 / 함수란 무엇인가? 확률 변수(Random Variable) 확률 변수란 표본 공간 안의 원소를 특정 실수 값으로 보내는 함수입니다. 좀 더 엄밀한 정의는 Measure 이론의 한 분야로 굉장히 어렵고 복잡해서 위 설명대로만 받아들이는 게 마음건강에 좋습니다. 예를 들어봅시다. 우리가 동전 던지기 실험을 한다고 합시다. 이때 표본 공간은 동전의 앞(Head) 혹은 뒤(Tail)로 이루어진 집합이 될 겁니다. 하지만 우리는 위 두 단어를 쓰는 대신에 숫자로 각각을 대응시킬 수 있습니다. 앞 -> +1, 뒤 -> -1 이렇게 말이죠. 그러나 우리는 가끔 표본 공간 안의 값 그 자체에 관심이 없을 수도 있습니다. 예를 들어 주사위 두 개를 굴렸을 때 각.. 2022. 3. 12.
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