-1 곱하기 -1은 왜 1일까?

 

이전 포스팅 참고 : 함수란 무엇인가?

 

왜 $(-1)^2 = 1$일까요? 이를 이해하기 위해서는 수의 체계에 대해서 이해할 필요가 있습니다.

수학에는 '공리(axiom)'라는 개념이 존재합니다. 어떤 정의나 정리들은 모두 이 공리로부터 시작되며, 수학의 한 분야의 개념을 쌓아가는 기본적이고 증명이 필요 없이 아주 명백한 것을 말합니다. 이번 포스팅에서는 실수(Real number)가 만족하는 공리 중 하나인  '체 공리(Field Axoims)'에 대해서 알아보겠습니다.

 

체 공리(Field Axioms)

일단 두 종류의 함수가 필요합니다. 바로 덧셈($+$)과 곱셈($\cdot$ 혹은 $\times$)입니다. 두 연산자가 함수라고 생각이 안드실 수 있지만 사실 $\mathbf{R}^2 := \mathbf{R} \times \mathbf{R}$위에서 정의된 두 개의 실수를 받아 하나의 실수를 반환하는 함수입니다. ($+, \cdot : \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}$)  아래와 같이 익숙한 모양으로 쓰면 감이 좀 오시나요? $$ \begin{align} +(1, 2) & = 3 \nonumber \\ +(5, 2) & = 7 \nonumber \\ \cdot (2, 3) & = 6 \nonumber \\ \cdot (7, 5) & = 35 \nonumber \end{align} $$이해가 안되신다면 위의 이전 포스팅을 참고해주세요. 어쨌든 잘 정의되어 있는 두 함수에 대한 아래 8가지 공리들을 '체 공리(Field Axioms)'라 부르며, ('잘 정의되어 있다'함은 해석이 모호한 부분 없이 유일한 해석이나 값을 준다는 의미입니다) 이 공리들을 모두 만족하는 집합을 '체(Field)'라고 부릅니다. 

$\forall a, b, c \in \mathbf{R}$에 대해서,

1. 닫혀있다.(Closure Properties)
$a+b$와 $a \cdot b$는 $\mathbf{R}$의 원소이다. ($a+b, a\cdot b \in \mathbf{R}$)

2. 결합 법칙(Associative Properties)이 성립한다.
$a+(b+c) = (a+b)+c$이고 $a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$이다.

3. 교환 법칙(Commutative Properties)이 성립한다.
$a+b = b+a$이고 $a\cdot b = b \cdot a$이다.

4. 분배 법칙(Distributive Law)이 성립한다.
$a\cdot (b + c) = a\cdot b + a \cdot c$

5. 덧셈에 대한 항등원(Additive Identity)이 존재한다.
$0 + a = a$를 만족하는 $0 \in \mathbf{R}$이 존재

6. 곱셈에 대한 항등원(Multiplicative Idendtity)이 존재한다.
$1\cdot a = a$를 만족하는 $1\in \mathbf{R}$이 존재

7. 덧셈에 대한 역원(Additive Inverse)이 존재한다.
$a + (-a) = 0$을 만족하는 $-a \in \mathbf{R}$이 존재

8. 곱셈에 대한 역원(Multiplicative Inverse)이 존재한다.
$a \cdot a^{-1} = 1$을 만족하는 $a^{-1} \in \mathbf{R}$이 존재

실수는 위 내용을 모두 만족하므로 체입니다.

그래서 왜 $(-1)^2 = 1$인데??

체 공리만으로도 $(-1)^2 = 1$ 증명이 가능한데, 증명은 아래와 같습니다. $$ \begin{align} (-1)^2 & = (-1)^2 + 0 \quad \cdots \text{by 5} \nonumber \\ & = (-1)^2 + 1 + (-1) \quad \cdots \text{by 7} \nonumber \\ & = (-1)^2 + (-1) + 1 \quad \cdots \text{by 3} \nonumber \\ & = (-1)^2 +(-1)\cdot 1 +1 \quad \cdots \text{by 6} \nonumber \\ & = (-1)(-1 + 1) + 1 \quad \cdots \text{by 4} \nonumber \\ & = -1\cdot 0 +1 \quad \cdots \text{by 7} \nonumber \\ & = 0 + 1 \quad \cdots \text{by 8} \nonumber \\ & = 1 \quad \cdots \text{by 5.} \nonumber \end{align}$$따라서, $(-1)^2 = 1$이 됩니다. (모든 식에 이유가 붙어 상당히 변태스럽지만.. 수학이란 원래 그런 변태적인 학문입니다)

 

 

순서 공리(Order Axioms)

$(-1)^2 = 1$이라는 사실을 체 공리를 통해서 증명해봤습니다. 그 외에도 실수가 만족하는 공리가 두 개 더 있는데 그중 하나인 '순서 공리(Order Axioms)'까지만 다뤄보겠습니다.

순서 공리란, $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$에서 정의된 관계 '<' 에 대해서 $a, b, c \in \mathbf{R}$이 만족하는 4개의 공리를 말합니다. 

$\forall a, b, c \in \mathbf{R}$에 대해서,

1. Trichotomy Property
$a < b$ 이거나 $b < a$ 이거나 $a = b$이다. (무조건 셋 중 하나를 만족한다)

2. Transitive Property
$a < b$이고, $a < c$ 이면, $a < c$이다.

3. The Additive Property
$a < b$ 이면, $a + c < b + c$이다.

4. The Multiplicative Properties
$a < b$이고 $c > 0$ 이면, $ac < bc$이다.
$a < b$이고 $c < 0$ 이면, $bc < ac$이다.

 

실수만 위 공리들을 만족하나요?

실수만 위 공리들을 만족하는 건 아닙니다. 실수 안의 존재하는 자연수($\mathbf{N}$), 정수($\mathbf{Z}$), 유리수($\mathbf{Q}$), 무리수($\mathbf{Q^c}$) 집합들에 대해서도 한 번 생각해봅시다. 

일단 순서 공리는 위 모든 집합들이 다 만족합니다. 문제는 체 공리인데, 자연수 같은 경우에는 덧셈에 대한 역원이 없어 체 공리를 만족하지 못합니다. (ex. $1 \in \mathbf{N}$이지만, $-1 \notin \mathbf{R}$입니다) 따라서, $\mathbf{N}$은 체가 아닙니다. (그 외에도 여러 가지 조건을 만족 못합니다)

정수 또한 곱셈에 대한 역원이 존재하지 않아 체가 아닙니다. (ex. $2 \in \mathbf{Z}$이지만, $1/2 \notin \mathbf{Z}$)

무리수는 덧셈에 대한 항등원 0이 존재하지 않아 체가 아닙니다.

유일하게 유리수 $\mathbf{Q}$가 위 공리를 모두 만족하여 실수와 차이가 없는 것처럼 보이는데, 실수와 유리수를 나눠주는 공리가 따로 존재합니다. 이를 '완전성 공리(Completeness Axiom)'라고 부릅니다. 완전성 공리는 나중에 한 번 다뤄보도록 하겠습니다.