전기력, 쿨롱의 법칙과 중첩의 원리 (Electric Force and Superposition Principle)

 

 

 

전기력 (Electric Force)

'전기력(Electric force)'이란, 질량을 가진 두 물체가 만유인력으로 서로를 끌어당기듯, 전하를 가진 두 물체 사이에서 나타나는 힘을 말합니다. '전하(Charge)'라는 물리량은 +, - 두 극성으로 나뉘며, 같은 극성끼리는 서로 밀어내고 다른 극성끼리는 서로 잡아당기는 성질을 가지고 있습니다. 

 

전자기학이라는 학문은 크게 두 가지 경우로 나뉘는데, 첫 번째는 전하가 정지한 상태를 기술하는 것 (정전기학), 두 번째는 전하가 움직이는 상태를 기술하는 것입니다.(전기 역학) 오늘은 전하가 정지한 상태를 먼저 공부해 보도록 하겠습니다.

 

쿨롱의 법칙 (Coulomb's Law)

진공상태에서 원점으로부터 $\mathbf{r}_1$만큼 떨어진 위치에 전하량 $q_1$을 가진 원천 전하(source charge)가 있다고 가정합시다. 만약 원점으로부터 $\mathbf{r}_2$만큼 떨어진 위치에 전하량 $q_2$를 가진 실험 전하(test charge)를 배치했을 때, 이 실험 전하에 가해지는 힘, 즉 전기력은 아래와 같습니다. $$ \mathbf{F}_{12} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r_{12}^2}\hat{\mathbf{r}}_{12}$$

이때 $\mathbf{r}_{12} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1$ 입니다.

 

위 두 전하 사이에 작용하는 힘에 대한 식이 바로 '쿨롱의 법칙(Coulomb's Law)'입니다. 흥미로운 점은 위 식은 실험에 의한 결과값이라는 점입니다. 이 때 $\epsilon$은 '유전율(Permittivity)'이라 부르며, $\epsilon_0$는 특히 진공에서의 유전율을 의미합니다. 보통 전하 사이에 존재하는 물질이 두 전하 사이에 작용하는 힘에 미치는 영향을 나타내는데, 자세한 내용은 추후에 다뤄보도록 하겠습니다. 

좌표계에서 각 전하의 위치와 방향 벡터

 

중첩의 원리 (Superposition Principle)

쿨롱의 법칙과 함께 실험적으로 밝혀진 전기력의 특성 중 하나로 '중첩의 원리(Superposition Principle)'가 있습니다. 두 개 이상의 원천 전하가 하나의 실험 전하에 미치는 힘은 각 원천 전자 하나가 실험 전자에 미치는 힘을 단순히 모두 더한 것과 같습니다. 예를 들어, 실험 전자 $q_0$가 n개의 원천 전하 $q_1, \cdots, q_n$으로부터 받는 힘은 다음과 같습니다. (각 원천 전하로부터 실험 전하를 잇는 거리 벡터는 $\mathbf{r}_{i0}$ 입니다)$$ \begin{align} \mathbf{F} & = \mathbf{F}_{10} + \mathbf{F}_{20} + \cdots +  \mathbf{F}_{n0} \nonumber \\ & = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_1 q_0}{r^2_{10}} \hat{\mathbf{r}}_{10} + \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_2 q_0}{r^2_{20}} \hat{\mathbf{r}}_{20} + \cdots +  \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{q_n q_0}{r^2_{n0}} \hat{\mathbf{r}}_{n0} \nonumber \\ & = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{4 \pi \epsilon0} \frac{q_i q_0}{r^2_{i0}} \hat{\mathbf{r}}_{i0} \nonumber \end{align}$$

 

전하 분포와 각 위치 벡터들

 

사실상 정전기학은 위 두 가지 법칙이 지배하고 있습니다. 나머지는 어떤 전하의 분포에 대해서 좀 더 쉽게 기술하기 위한 수학적 기술들을 배우는 것이 다입니다. (물론 여기서 정신적 고통이 심하긴 합니다..)

 

 

연속적인 전하 분포에 대한 전기력

위에서 점 전하(point charge)의 분포에 의해 실험 전하 $q_0$에 만들어지는 힘을 '쿨롱의 법칙'과 '중접의 원리'를 통해 구해봤습니다. 다음으로 원천 전하의 분포가 점처럼 서로서로 끊어져있는 형태가 아닌 서로 연결되어 있는 경우를 생각해봅시다. 실제 세상에서 특정 물질은 거의 항상 특정 부피를 가지고 있기 때문에 점전하를 기술하는 것보다 훨씬 실생활에 가까울겁니다. 

어떤 특정 부피와 그 부피 안에서 특정 전하 분포를 가지는 물질 A를 생각해봅시다. 이 A가 실험 점전하 $q$에 미치는 전기력을 구하기 위해선 A를 아주 잘게 쪼개어 점 전하와 비슷하게 만들고 이 점 전하가 $Q$에 미치는 전기력을 쿨롱의 법칙으로 구하는 것부터 시작됩니다. A를 아주 잘게 쪼개어 만든 수많은 점 전하 들을 $dq$라고 할 때, 각 $dq$들이 $Q$에 미치는 전기력을 모두 더하게 되면, 중첩의 원리에 따라서 A가 $Q$에 작용하는 전기력을 구할 수 있을 겁니다. 

$dq$가 $Q$에 작용하는 전기력은 쿨롱의 법칙에 의하여 아래와 같습니다. $$ d\mathbf{F} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q \cdot dq}{r'^2} \hat{\mathbf{r}}'. $$ 이때, $\mathbf {r}'$은 $dq$부터 $Q$까지 잇는 방향 벡터입니다. 바로 옆의 다른 $dq$와 $Q$사이의 힘을 구할 때는 값이 달라진다는 점을 잊으면 안 됩니다.

자 이제 A가 $Q$에 가하는 전기력을 구하려면 중첩의 원리에 따라 모든 $dq$가 $Q$에 미치는 전기력을 '더해주면' 됩니다. 전하가 연속적으로 분포되어 있으니 적분을 해주면 됩니다.

$$ \int d\mathbf{F} = \mathbf{F} = \int \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r'^2}\hat{\mathbf{r}}' \, dq  $$

여기서 전하가 분포한 모양이 선이냐, 면이냐, 부피냐에 따라 $dq$를 나타내는 표현이 달라집니다. 각 경우에 위치 $\mathbf{s}에서의 $ '전하 밀도(Charge density)'는 다음과 같이 표기합니다. $$ \lambda(\mathbf{s}) = \frac{dq(\mathbf{s})}{dl}, \quad \sigma(\mathbf{s}) = \frac{dq(\mathbf{s})}{da}, \quad \rho(\mathbf{s}) = \frac{dq(\mathbf{s})}{d\tau}. $$ 따라서 각 경우에 $dq$를 위 쿨롱의 법칙에 대입해주면 됩니다. 전하 밀도를 부피로 가지고 있는 경우를 예로 들면 다음과 같습니다. $$ \begin{align} \mathbf{F} & = \int_{V} \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Q}{r'^2}\hat{\mathbf{r}}' \, \rho(\mathbf{s}) d\tau. \\ & = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_0} \int_{V} \frac{1}{r'^2}\hat{\mathbf{r}}' \, \rho(\mathbf{s}) d\tau \end{align} $$ 적분 구간($V$)은 원천 전하가 존재하는 공간으로 잡아도 되지만 그 외의 영역을 포함시켜도 그 영역에서의 $\rho(\mathbf{s})$는 0이기 때문에 어차피 전체 적분엔 영향을 미치지 않습니다. 

부피 전하 밀도를 가지는 원천 전하와 방향 벡터들

 

결론

이처럼 점 전하와 점전하 사이의 작용하는 전기력을 쿨롱의 법칙을 통해 구할 수 있고, 원천 점전하의 수가 많은 경우는 중첩의 원리를 통해 각 원천 전하가 실험 전하에 미치는 전기력을  단순히 더해주면(벡터합) 된다는 사실을 정리해봤습니다. 이를 통해서 원천 전하가 연속적인 분포를 가지는 경우에도 각 전하 분포를 작게 쪼개어 점전하와 같이 생각한 후, 실험 전하에 미치는 전기력을 모두 더하여 적분 형태로 쿨롱의 법칙을 나타내 보았습니다.