함수란 무엇인가?

 

 

오늘은 우리와 아주 익숙한 '함수(Function)'에 대해서 얘기해 보도록 하겠습니다. 아마 대부분의 사람들은 함수가 무엇이냐 말하면 $f(x)$이고 $x$에 따라서 그 값이 변한다.. 정도로만 답할 겁니다. 아주 틀린 말은 아니지만 이번엔 좀 더 세세하게 뜯어보도록 하죠.

 

카테시안 곱(Cartesian Product)

함수를 이해하기 전에 '카테시안 곱'의 개념을 먼저 소개하겠습니다. 우리말로는 '카테시안 곱'(카r테시안 곱...), '데카르트 곱', '곱집합' 등으로 불립니다. 어떤 두 집합 $X$, $Y$에 대해서 $X$와 $Y$의 카테시안 곱은 아래와 같이 정의된 순서쌍의 집합을 의미하며, $\times$로 표기합니다. $$X \times Y := \{ (x, y) : x \in X, y \in Y \} $$정말 단순한 개념인데 예를 들어보자면 $X = \{ 1,2 \}, Y= \{ 3,4,5 \}$로 주어져 있다면, 두 집합의 카테시안 곱은 아래와 같습니다. $$ X \times Y = \{ (1,3), (1, 4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5) \}. $$

 

관계(Relation)

'관계(Relation)'란, 카테시안 곱의 임의의 부분집합을 의미하며, $R$로 표기합니다. 위의 경우에서 예를 들어본다면 $$ \begin{align} R_1 & = \{ (1,3), (2,4) \} \nonumber \\ R_2 & = \{ (1, 4), (2, 4) \} \nonumber \\ R_3 & = \{ (1,3), (1, 4), (1, 5) \} \nonumber \\ R_4 & = \{ (1, 4), (2, 3), (2, 4), (2, 5) \} \nonumber \\ & \vdots \nonumber \end{align}$$등등... 만들어질 수 있는 관계는 $2^6$개로 꽤 많습니다. (순서쌍이 들어가거나 안 들어가거나) 

정의역과 치역(Domain, Range)

주어진 관계 안에 존재하는 모든 순서쌍의 $x$값을 모아둔 집합을 '정의역(Domain)'이라 부르며, $Dom(R)$로 표기합니다. 위 관계들로 예를 들면 아래와 같습니다. $$ \begin{align} Dom(R_1) & = \{ 1, 2 \} \nonumber \\ Dom(R_2) & = \{ 1, 2 \} \nonumber \\ Dom(R_3) & = \{ 1 \} \nonumber \\ Dom(R_4) & = \{ 1, 2 \} \nonumber \\ & \vdots \end{align} $$유사하게, 주어진 관계안에 존재하는 모든 순서쌍의 $y$값을 모아둔 집합을 '치역(Range)'이라 부르며, $Ran(R)$로 표기합니다. 예를 들면 아래와 같습니다. $$ \begin{align} Ran(R_1) & = \{ 3, 4 \} \nonumber \\ Ran(R_2)& = \{ 4 \} \nonumber \\ Ran(R_3)& = \{ 3, 4, 5 \} \nonumber \\ Ran(R_4)& = \{ 3, 4, 5 \} \nonumber \\ & \vdots \nonumber  \end{align} $$순서쌍$(x, y)$가 어떤 관계 안에 있다면 $xRy$와 같이 표기합니다. 위에서 $R_1$을 통해 예를 들어보면 $1R_1 3$, $2R_1 4$와 같이 쓸 수 있습니다.

 

 

함수(Function)

지금까지 카테시안 곱으로부터 관계까지 정리를 했는데, $X$에서 $Y$로 가는 함수는 '어떤 특정한 조건을 만족하는 관계'를 말합니다. 그 관계를 우리는 특별 대우하여 $R$이 아닌 $f$로 표기합니다. 특정 조건은 두 가지가 있습니다. 

1. 해당 관계 $f$의 정의역이 $X$와 같다.
2. 각 $x \in X$에 대해서 $(x, y) \in f$을 만족하는 $y \in Y$는 '유일'하다.

이때, $xfy$를 우리는 $f(x) = y$ 혹은 $f : x \rightarrow y$로 표기하는 것이고, $y$를 함수 $f$의 $x$에서의 '값(Value)'이라고 부릅니다. 또한 치역에 존재하는 $y$값에 대응하는 $x$값을 '원상 혹은 역상(Preimage)'이라고 부릅니다. 굉장히 복잡해 보이는데 위에서 봤던 관계 $R_i$들을 통해서 예를 들어 이해해봅시다.

$R_1$의 경우, $Dom(R_1) = X$이고, 각 $x = 1, 2$에 대해서 유일한 $y = 3, 4$가 대응되니 관계 $R_1$은 $X$에서 $Y$로 가는 함수가 됩니다. 이때, $y = 3, 4$는 각각 함수 $R_1$의 $x = 1, 2$에서의 '값'이 되고, $x = 1, 2$는 각각 $y = 3, 4$의 '원상'이 됩니다.

 $R_2$의 경우도 마찬가지로 함수가 되지만, 특이한 점은 $y=4$의 원상이 $x=1,2$로 두 개라는 점입니다.

$R_3$의 경우, $Dom(R_3) = \{ 1 \} \neq \{1, 2\} = X$이므로, $X$에서 $Y$로 가는 함수가 아닙니다.

$R_4$의 경우, $Dom(R_4) = X$이지만, $x=2$에 대해서 $(2, y) \in R_4$를 만족하는 $y$값이 무려 세 개나 되므로 (3, 4, 5) $X$에서 $Y$로 가는 함수가 아닙니다. 이해가 좀 되시나요?

마지막으로, $f$가 $X$에서 $Y$로 가는 함수라면, 보통 $f$는 $X$위에서 정의된 함수라고 말하며, 이때, $Y$를 '공역(Codomain)'이라고 부릅니다.

x를 박스 안에 넣으면 언제나 동일한 y가 나와야합니다. 넣을 때마다 다른 게 나오면 쓰기 힘든 장치가 되겠죠. (출처 : 위키피디아)

상당히 복잡해 보이는데, 사실 용어가 많이 나와서 혼란스러운 경우가 대부분일 겁니다. 아래 그림을 참고하시면 구조들을 파악하는 데 도움이 좀 되실 겁니다. 

함수의 구조. 알아야 할 게 많아 복잡하다...

마지막으로 헷갈릴 수 있는 함수의 예를 들어보며 마무리하겠습니다.

코사인이나 사인, 혹은 평면 상의 수직이 아닌 직선은 모두 함수입니다. 그럼 $x = 0$이 비어있는 $f(x) = 1/x$는 함수일까요? 네 함수가 맞습니다. $x=0$은 아예 정의역에 포함이 되어있기 때문에 0을 제외한 모든 $x \in \mathbf{R}$에 대해서 값이 정해져 있기 때문이죠.

함수 $f(x) = 1/x$

평면상의 원은 함수일까요? 안타깝게도 함수가 아닙니다. 단위원을 예로 들어봅시다. (반지름이 1인 원) 이 경우 주어진 $x = 0$에서 $y = 1, -1$이 나올 수 있기 때문에 유일한 $y$값이 아닙니다. 따라서 함수가 아닙니다.

평면상의 원은 함수가 아니다. ($x^2 + y^2 = 1$)

중요한 것은! 주어진 정의역이 모든 $X$값을 커버하는지와 하나의 $x \in X$값에 '유일한' $y \in Y$값이 대응이 되는가입니다. 이를 통해 이후에 surjective, injective, bijective 및 역함수로 개념을 확장해 갈 수 있는데 이 얘기는 나중에 한 번 다뤄보도록 하겠습니다.