오늘은 스칼라와 벡터에 대해서 얘기해보고자 합니다.
스칼라(Scalar)
스칼라는 물리를 하다 보면 아주 쉽게 그 용어를 접할 수 있습니다. 단순히 질량이나 온도 같은 '양'이다 라는 설명만 들어보셨을 수도 있습니다.
좀 더 자세히 설명하자면 스칼라란 '좌표 변환에 대해서 불변하는 양'을 의미합니다. 예를 들어봅시다.
오늘 서울의 온도가 5도라고 합시다. 이 서울의 온도는 우리가 어느 위치에서 측정을 하나 변함이 없는 값입니다. 내가 수원, 대구, 전주 등 어디에서 서울의 온도를 재도 항상 5도로 동일할 겁니다. (물론 멀어서 직접 재진 못하겠지만요..)
이처럼 기준점이나 바라보는 방향이 달라져도 변하지 않는 값을 '스칼라(Scalar)'라고 부릅니다.
벡터(Vector)와 좌표 변환(Coordinate Transformation)
벡터는 분야에 따라 설명이 달라집니다. 서로서로 일맥상통하는 내용도 물론 공유하고는 있으나 아직 언급하지 않겠습니다. 물리, 수학적으로 벡터를 설명하는 내용들은 아래와 같습니다.
1. 크기와 방향을 가지는 물리량이다.
2. Vector Space 안의 원소다. (수학)
3. 좌표 변환(Coordinate Transformation)에 대해 특정 변환 법칙을 따르는 물리량이다.
이번엔 3번 관점에서 벡터를 살펴보겠습니다.
어떤 특정 위치에서 높은 건물을 바라본다고 합시다. 하지만 이 건물의 위치를 설명할 때, 내가 어디를 바라본 상태에서 설명하냐에 따라 그 위치가 오른쪽이 될 수도 있고, 왼쪽이 될 수도 있습니다. 이처럼 벡터는 방향이라는 개념이 추가됩니다.
아래 그림에서 원정 $O$와 점 $P$를 잇는 벡터 $\vec{P}$를 생각해봅니다. 기존 좌표계가 $x_1, x_2$-axis로 평면을 표현한다고 하면 $\vec{P} = (x_1, x_2)$로 표현할 수 있습니다.
만약 좌표축을 반시계 방향으로 $\theta$만큼 돌린다면, 점 $P$, 다시 말하면, 벡터 $\vec{P} = (x_1, x_2)$를 표현하는 방식이 새로 생성된 축 $x_1', x_2'$을 기준으로 바뀔 겁니다. 이때 바뀐 값은 아래와 같습니다.
$\begin{align} x_1' = \overline{Oa} + (\overline{Oc}-\overline{Oa}) = (x_1 \cos\theta) +(x_2 \sin\theta) \nonumber \\ x_2' = \overline{Od} - (\overline{Od}-\overline{Oe}) = (x_2 \cos\theta) - (x_1 \sin\theta) \nonumber\end{align}$
$\begin{align} \therefore P & = (x_1', x_2') \\ & = (x_1 \cos \theta + x_2 \sin \theta, -x_1 \sin \theta + x_2 \cos \theta) \end{align}$
이를 행렬로 표현하면 아래와 같습니다.
$\left( \begin{array}{c} x_1'\\ x_2' \end{array}\right) = \left( \begin{array}{cc} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right)$
위의 코사인, 사인으로 이루어진 행렬을 '변환 행렬(Transformation Matrix)'이라고 부릅니다.
방향 코사인(Direction Cosine)
방향 코사인을 정의해서 사용하면 위 변환을 좀 더 보기 쉽게 정리할 수 있습니다.
방향 코사인은 두 축이 이루는 각도의 코사인으로 정의되며 아래와 같이 표현합니다.
$\lambda_{11} = \cos(x_1', x_1) = \cos\theta$
따라서 위 변환 행렬을 방향 코사인으로 나타내면 아래와 같습니다.
\begin{align} \boldsymbol{\lambda} = \left( \begin{array}{cc} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \lambda_{11} & \lambda_{12} \\ \lambda_{21} & \lambda_{22} \end{array} \right) \end{align}
3차원으로 확장도 가능한데 위 그림처럼 일일이 그려가며 하나하나 찾는 것보단 방향 코사인을 이용한 변환 행렬의 모양을 기억하여 받아들이고 사용하는 편이 훨씬 간편합니다.
\begin{align} \boldsymbol{\lambda} = \left( \begin{array}{ccc} \lambda_{11} & \lambda_{12} & \lambda_{13} \\ \lambda_{21} & \lambda_{22} & \lambda_{23} \\ \lambda_{31} & \lambda_{32} & \lambda_{33} \end{array} \right) \end{align}
따라서 고전 역학에서 벡터 $\boldsymbol{a}$는 어떤 회전 변환에 대해 위와 같이 $\boldsymbol{a}' = \boldsymbol{\lambda}\boldsymbol{a}$라는 변환 법칙을 따르는 물리량을 말합니다. 다음은 좌표 변환 행렬에 대해서 좀 더 자세히 다뤄보겠습니다.
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